2021年豫章师范学院专升本《高等数学二》考试大纲

　　【导读】今天为各位考生整理了2021年豫章师范学院专升本《高等数学二》考试大纲的内容，希望对大家能有所帮助哦。

　　总体要求

　　考生应按照本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数与极限、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、无穷级数的基本概念与基本理论。学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法进行正确推理证明和准确计算;能综合运用所学知识提出问题、分析问题和解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

　　一、函数、极限和连续

　　(一)函数

　　1.知识范围

　　(1)函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数;

　　(2)函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性;

　　(3)反函数：反函数的定义、反函数的图象;

　　(4)函数的四则运算与复合运算;

　　(5)基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;

　　(6)初等函数。

　　2.要求

　　(1)理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式、函数值及值域，会求分段函数的定义域、函数值、值域，并会作出简单的分段函数图像;

　　(2)理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别;

　　(3)了解函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)之间的关系(定义域、值域、图象)，会求单调函数的反函数;

　　(4)理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程;

　　(5)掌握基本初等函数的简单性质及其图象;

　　(6)了解初等函数的概念;

　　(7)会建立简单实际问题的函数关系式。

　　(二)极限

　　1.知识范围

　　(1)数列极限的概念：数列、数列极限的定义;

　　(2)数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性、四则运算定理、夹逼定理、单调有界定理、数列极限存在定理、柯西收敛准则。

　　(3)函数极限的概念：函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系、x趋于无穷(x→∞，x→+∞，x→-∞)时函数的极限、函数极限的几何意义 ;

　　(4)函数极限的定理：唯一性定理、单调有界定理、夹逼定理、四则运算定理、复合函数极限定理;

　　(5)无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量与无穷大量的性质;两个无穷小量阶的比较;

　　(6)两个重要极限。

　　2.要求

　　(1)理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变化趋势，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件;

　　(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则;

　　(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质及无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，熟练掌握运用等价无穷小量代换求极限方法;

　　(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

　　(三)连续

　　1.知识范围

　　(1)函数连续的概念：函数在一点连续的充分必要条件、函数的间断点及其分类;

　　(2)函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性;

　　(3)闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理(包括零点定理);

　　(4)初等函数的连续性。

　　2.要求

　　(1)理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系;

　　(2)会求函数的间断点并确定其类型;

　　(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理证明等式或不等式;

　　(4)理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用函数连续性求极限。

　　二、一元函数微分学

　　(一)导数与微分

　　1.知识范围

　　(1)导数概念：导数的定义、左导数与右导数定义、导数的几何意义、可导与连续的关系;

　　(2)求导法则与导数的基本公式：导数的四则运算、反函数的导数、导数的基本公式;

　　(3)求导方法：复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法、由参数方程确定的函数的求导法、求分段函数的导数;

　　(4)高阶导数的概念：高阶导数的定义、高阶导数的计算;

　　(5)微分：微分的定义、微分与导数的关系、微分法则、一阶微分形式不变性。

　　2.要求

　　(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数;

　　(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程;

　　(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数;

　　(4)掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数;

　　(5)理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数;

　　(6)理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

　　(二)中值定理及导数的应用

　　1.知识范围

　　(1)中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

　　(2)洛必达法则;

　　(3)函数单调性的判定法;

　　(4)函数极值与极值点、最大值与最小值;

　　(5)曲线的凹凸性、拐点;

　　(6)曲线的渐近线：水平渐近线、斜渐近线、垂直渐近线。

　　2.要求

　　(1)了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及它们的几何意义，会用罗尔中值定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明简单的不等式或等式;

　　(2) )熟练掌握洛必达法则，会求“0/0”、“∞/∞”、“0·∞”、“∞-∞”、“1∞”，“∞0”和“00”型未定式的极限;

　　(3)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式;

　　(4)理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大(小)值的方法，并且会解简单的应用问题;

　　(5)会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点坐标，根据函数凹凸性证明不等式;

　　(6)会求曲线的水平渐近线、斜渐近线与垂直渐近线;

　　(7)会作出简单函数的图形。

　　三、一元函数积分学

　　(一)不定积分

　　1.知识范围

　　(1)不定积分的概念：原函数与不定积分的定义、原函数存在定理、不定积分的性质;

　　(2)基本积分公式;

　　(3)换元积分法：第一换元法(凑微分法)、第二换元法;

　　(4)分部积分法。

　　2.要求

　　(1)理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理;

　　(2)熟练掌握不定积分的基本公式;

　　(3)熟练掌握不定积分的第一换元法和第二换元法;

　　(4)熟练掌握不定积分的分部积分法;

　　(5)会求简单有理函数的不定积分。

　　(二)定积分

　　1.知识范围

　　(1)定积分的概念：定积分的定义及其几何意义;

　　(2)定积分的性质;

　　(3)定积分的计算：变上限的定积分、牛顿一莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法;

　　(4)无穷区间的广义积分;

　　(5)定积分的应用：平面图形的面积、旋转体的体积、物体沿直线运动时变力所作的功。

　　2.要求

　　(1)理解定积分的概念与几何意义;

　　(2)掌握定积分的基本性质;

　　(3)理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法;

　　(4)掌握牛顿--莱布尼茨公式;

　　(5)熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法;

　　(6)理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法;

　　(7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积、会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。

　　四、向量代数与空间解析几何

　　(一)向量代数

　　1.知识范围

　　(1)向量的概念：向量的定义、向量的模、单位向量、向量在坐标轴上的投影、向量的坐标表示法、向量的方向余弦;

　　(2)向量的线性运算：向量的加法、向量的减法、向量的数乘;

　　(3)向量的数量积、二向量的夹角、二向量垂直的充分必要条件;

　　(4)二向量的向量积、二向量平行的充分必要条件。

　　2.要求

　　(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影;

　　(2)掌握向量的线性运算，掌握向量的数量积与向量积的计算方法;

　　(3)掌握二向量平行、垂直的条件。

　　(二)平面与直线

　　1.知识范围

　　(1)常见的平面方程：点法式方程、截距式方程、三点式方程、一般式方程;

　　(2)两平面平行的条件、两平面垂直的条件、点到平面的距离;

　　(3)空间直线方程：标准式方程(又称对称式方程或点向方程)、一般式方程、参数式方程;

　　(4)两直线平行的条件、两直线垂直的条件、直线在平面上的条件。

　　2.要求

　　(1)会求平面的点法式方程、截距式方程、三点式方程、一般式方程，会判定两平面的位置关系(垂直、平行);

　　(2)会求点到平面的距离;

　　(3)了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程，会判定两直线的位置关系(平行、相交、异面);

　　(4)会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。

　　(三)简单的二次曲面

　　1.知识范围：球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、椭球面。

　　2.要求

　　了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、椭球面的方程及其图形。

　　五、多元函数的微分

　　(一)多元函数微分学

　　1.知识范围

　　(1)多元函数：多元函数的定义、二元函数的定义域、二元函数的几何意义、二元函数极限与连续的概念;

　　(2)偏导数与全微分：偏导数、全微分、二阶偏导数;

　　(3)复合函数的偏导数、全导数;

　　(4)隐函数的偏导数;

　　(5)二元函数的无条件极值与条件极值。

　　2.要求

　　(1)了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念，会求二元函数的定义域;

　　(2)理解偏导数概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件;

　　(3)掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法;

　　(4)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求全导数;

　　(5)会求二元函数的全微分;

　　(6)掌握由方程F(x，y，z)=0所确定的隐函数z=z(x，y)的一阶偏导数的计算方法;

　　(7)会求二元函数的无条件极值和条件极值。

　　五、无穷级数

　　(一)数项级数

　　1.知识范围

　　(1)数项级数：数项级数的概念、级数的收敛与发散级数的基本性质、级数收敛的必要条件;

　　(2)正项级数敛散性的判别方法：比较判别法、比值判别法、根值判别法;

　　(3)一般项级数：交错级数、绝对收敛、条件收敛。

　　2.要求

　　(1)理解级数收敛、发散的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质;

　　(2)熟练掌握正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法;

　　(3)掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性;

　　(4)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用菜布尼茨判别法判断级数敛散性。

　　(二)幂级数

　　(1)幂级数的概念：收敛半径、收敛区间、收敛域;

　　(2)幂级数的基本性质;

　　(3)将简单的初等函数展开为幂级数;

　　(4)幂级数的和函数。

　　2.要求

　　(1)了解幂级数的相关概念;

　　(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项求积)，会求幂级数的和函数;

　　(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域的方法;

　　(4)会运用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，l/(1-x)的麦克劳林级数，将一些简单的初等函数展开为x或x-x0的幂级数。

　　试卷总分：150分

　　考试时间：150分钟

　　试卷内容比例

　　函数、极限和连续约20%，一元函数微分学约25%，一元函数积分学约25%，向量代数与空间解析几何10%，多元函数微分学约10%，无穷级数约10%。

　　试卷题型比例

　　选择题约15%，填空题约25%，计算题约40%，综合题约20%。

　　试题难易比例

　　容易题约40%，中等难度题约50%，较难题约10%。

　　主要参考书

　　高等数学第七版上、下册，同济大学编， 高等教育出版社。

　　数学分析第五版上、下册，华东师范大学编，高等教育出版社。

　　【结尾】以上是2021年豫章师范学院专升本《高等数学二》考试大纲的相关内容，关注江西专升本考试网，获取到江西专升本常见问题、报考指南、政策公告、考试大纲、复习备考等，加入江西专升本交流群、与老师同学一起交流升本上岸!