2020年江西科技师范大学专升本《高等数学A》科目考试大纲

　　2020年江西科技师范大学专升本《高等数学A》科目考试大纲

　　Ⅰ.适用专业：理科各专业

　　Ⅱ.总体要求

　　考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论;学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

　　本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

　　Ⅲ.考核内容及要求

　　一、函数、极限和连续

　　(一)函数

　　(1)理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值;会求分段函数的定义域、函数值;掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性;会判断所给函数的类别。

　　(2)了解函数 与其反函数 之间的关系(定义域、值域、图象)，会求单调函数的反函数。

　　(3)理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

　　(4)掌握基本初等函数的简单性质及其图象;了解初等函数的概念;会建立简单实际问题的函数关系式。

　　(二)极限

　　(1)理解极限的概念;能根据极限概念分析函数的变化趋势;会求函数在一点处的左极限与右极限;了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

　　(2)了解极限的有关性质;掌握极限的四则运算法则。

　　(3)理解无穷小量、无穷大量的概念;掌握无穷小量的性质及无穷小量与无穷大量的关系;会进行无穷小量阶的比较;会运用等价无穷小量代换求极限。

　　(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

　　(三)连续

　　(1)理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

　　(2)会求函数的间断点及确定其类型。

　　(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。

　　(4)理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

　　二、一元函数微分学

　　(一)导数与微分

　　(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

　　(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

　　(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。

　　(4)掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法。

　　(5)理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

　　(6)理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

　　(二)中值定理及导数的应用

　　(1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义;会用罗尔定理证明方程根的存在性;会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

　　(2)熟练掌握利用洛必达法则求各种未定型极限的方法。

　　(3)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

　　(4)理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大(小)值的方法，并且会解简单的应用问题。

　　(5)会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

　　(6)会求曲线的斜渐近线与垂直渐近线;会作简单函数的图形

　　三、一元函数积分学

　　(一)不定积分

　　(1)理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。

　　(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

　　(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。

　　(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

　　(5)会求简单有理函数的不定积分。

　　(二)定积分

　　(1)理解定积分的概念与几何意义;掌握定积分的基本性质。

　　(2)理解变上限积分的概念，掌握对变上限积分求导数的方法。

　　(3)掌握牛顿—莱布尼茨公式;掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

　　(4)理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

　　(5)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积;会用定积分求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积;会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。

　　四、向量代数与空间解析几何

　　(一)向量代数

　　(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法;会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

　　(2)掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。

　　(3)掌握二向量平行、垂直的条件。

　　(二)平面与直线

　　(1)会求平面的点法式方程、一般式方程;会判定两平面的垂直、平行。

　　(2)会求点到平面的距离。

　　(3)了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程;会判定两直线平行、垂直。

　　(4)会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。

　　(三)简单的二次曲面

　　了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。

　　五、多元函数微积分

　　(一)多元函数微分学

　　(1)了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念(对计算不作要求);会求二元函数的定义域。

　　(2)理解偏导数概念，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

　　(3)掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法;掌握复合函数一阶偏导数的计算方法。

　　(4)会求二元函数的全微分。

　　(5)掌握由方程F(x，y，z)=0所确定的隐函数z=z(x，y)的一阶偏导数的计算方法。

　　(6)会求二元函数的无条件极值。

　　(二)重积分

　　(1)理解二重积分的概念及其性质。

　　(2)掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。

　　(3)会用二重积分解决简单的应用问题(限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板质量)。

　　(4)了解三重积分的概念及其计算方法。

　　(三)曲线积分与曲面积分

　　(1)了解曲线积分、曲面积分的概念及其性质。

　　(2)掌握曲线积分、曲面积分的计算方法。

　　(3)了解格林公式及其应用。

　　六、无穷级数

　　(一)数项级数

　　(1)理解级数收敛、发散的概念;掌握级数收敛的必要条件;了解级数的基本性质。

　　(2)掌握正项级数的比值判别法;会用正项级数的比较判别法。

　　(3)掌握几何级数、调和级数及P级数的敛散性。

　　(4)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。

　　(二)幂级数

　　(1)了解幂级数的概念。

　　(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。

　　(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。

　　七、常微分方程

　　(一)一阶微分方程

　　(1)理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

　　(2)掌握可分离变量微分方程的解法。

　　(3)掌握一阶线性微分方程的解法。

　　(二)二阶线性微分方程

　　(1)了解二阶线性微分方程解的结构。

　　(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

　　(3)掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

　　Ⅳ.试卷结构

　　试卷总分：150分

　　考试时间：90分钟

　　试卷内容比例：

　　函数、极限和连续 约20%

　　一元函数微分学 约30%

　　一元函数积分学 约20%

　　多元函数微积分(含向量代数与空间解析几何) 约20%

　　无穷级数、常微分方程 约10%

　　试卷题型比例：

　　选择题 约15%

　　填空题 约25%

　　计算题 约40%

　　应用题 约10%

　　综合题 约10%

　　试题难易比例：

　　容易题 约40%

　　中等难度题 约50%

　　较难题 约10%

　　Ⅴ.主要参考书：

　　《高等数学(第2版)》(上、下册)上海交大数学系编著，上海交通大学出版社。

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